Bayesian Filter
Created 2021.05.16 by William Yu; Last modified: 2022.07.12-V1.2.2
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Bayesian Filter
- blog: https://zhuanlan.zhihu.com/p/139215491
- book: Bayesian Filtering and Smoothing. Simo Sarkka.
Background
时移系统
- 数据
- 隐状态 ${x_k}$
- 观测数据 ${y_k}$ ，带有噪声
- 操作：用$y_{1:d}$估计第k个状态 $x_k | y_{1:d}$
- 若 k > d，称为 预测(prediction)
- k = d，滤波 (filter)
- k < d，平滑 (smoothing)
Bayesian Filter
- 数据
- $x_k$ ：k时刻的状态
- $y_k$：k时刻的观测
- $p(x_k|x_{k-1})$：运动模型、状态转移模型
- $p(y_k|x_k)$：观测模型
- 过程
- 已知：
- $p(x_0)$ ：初始状态
- $p(x_k|x_{k-1})$ ：运动模型
- $p(y_k|x_k)$：观测模型
- 手段：
- 贝叶斯滤波
- 目的：
- $p(x_k|y_{1:k})$：k时刻的最优估计
- 已知：
Algorithm Implementation
1. 初始化
- 初始化状态的先验分布$p(x_0)$
2. 预测
-
利用前k-1个观测$y_{1:k-1}$ 估计第k个隐状态$x_{k}$
-
全概率公式，或者C-K方程
-
得 \(p(x_k | y_{1:k-1}) = \int p(x_k| x_{k-1}) p (x_{k-1}|y_{1:k-1})dx_{k-1}\)
-
其中 $p(x_k | x_{k-1})$ 表示 运动模型
-
其中 $p (x_{k-1}|y_{1:k-1})$ 表示 观测模型
3. 更新
利用预测以及新加入的第k个观测结合贝叶斯公式，可得： \(p(x_k|y_{1:k}) = \frac 1{Z_k} p(y_k|x_k) p(x_k|y_{1:k-1}) \tag 2 \\ where,\ \ \ \ Z_k = \int p(y_k| x_k) p(x_k|y_{1:k-1}) dx_k\)
// todo(congyu) 上面的内容还需要整理，比较混乱
Summary
1. 初始化
$p(x_0)$ , $x_{k-1}$
2. 预测
-
输入： $x_{k-1}|y_{1:k-1}$ 当前状态
-
方法：运动模型 $p(x_k|x_{k-1})$ e.g.动力学方程等 \(p(x_k | y_{1:k-1}) = \int p(x_k| x_{k-1}) p (x_{k-1}|y_{1:k-1})dx_{k-1} \tag 1\)
-
输出： $x_k|y_{1:k-1}$ 预测的下一时刻状态
3. 更新
- 输入 ：
- $x_k|y_{1:k-1}$ ： 预测步给出的预测结果
- $y_k$：当前观测值
-
方法：使用贝叶斯公式 \(p(x_k|y_{1:k}) = \frac 1{Z_k} p(y_k|x_k) p(x_k|y_{1:k-1}) \tag 2 \\ where,\ \ \ \ Z_k = \int p(y_k| x_k) p(x_k|y_{1:k-1}) dx_k\)
- 输出：$x_k|y_{1:k}$
Process
- -> 2. -> 3. -> 2. -> 3. -> 2. -> 3. -> 2. -> 3. 不断进行下去
